23 juillet 2015

Gammes tempérées à N sons.

Depuis le dix-huitième siècle, la musique occidentale est caractérisée par l'usage de la gamme tempérée à 12 sons. Le tempérament égal permet la transposition, sans altération, des mélodies. Il consiste à découper l'espace des fréquences f en intervalles égaux en log(f). L'intervalle de base, l'octave, correspond à un rapport de fréquences de 2. Le choix de 12 divisions de l'octave résulte de l'Histoire musicale en Europe, mais n'est pas pour autant obligatoire.

A la recherche d'une "quinte juste":

La quinte (exemple: intervalle do-sol) correspond à peu près à un rapport de fréquences de 3/2. Cette propriété est utilisée, entre autres, pour accorder les violons. Cependant, si l'on considère la gamme tempérée à 12 sons, la quinte correpond à 7 demi-tons, soit un rapport de fréquences de:
27/12 = 1.498307...
au lieu de 1.500000 .
En vérité, aucune gamme tempérée n'est capable de reproduire exactement la quinte juste, pour la bonne raison que les racines N-ièmes de 2 sont des nombres irrationnels. Mais on peut chercher s'il existe des gammes tempérées à N sons qui permettent de mieux approcher ce fameux rapport 3/2.
Tout d'abord, quelle est la situation des gammes avec N ≤ 12 ? Dans le tableau suivant, on a indiqué de gauche à droite: N (nombre de divisions de la gamme), j : position dans la gamme donnant le meilleur résultat, RF = 2j/N, et E, valeur absolue de l'écart.


         N         j         RF             E

         2         1    1.4142135624    0.0857864376
         3         2    1.5874010520    0.0874010520
         4         2    1.4142135624    0.0857864376
         5         3    1.5157165665    0.0157165665
         6         3    1.4142135624    0.0857864376
         7         4    1.4859942891    0.0140057109
         8         5    1.5422108254    0.0422108254
         9         5    1.4697344923    0.0302655077
        10         6    1.5157165665    0.0157165665
        11         6    1.4594801057    0.0405198943
        12         7    1.4983070769    0.0016929231

On voit qu'il n'existe, pour N ≤ 11, aucune approximation comparable à 27/12. Par exemple, pour N = 5, l'erreur est de l'ordre de un pour cent, alors que pour N = 12, elle approche un pour mille. Si on continue jusqu'à N = 100, on trouve une douzaine de gammes donnant des approximations meilleures que celle de la gamme à 12 sons. Elles sont résumées dans le tableau suivant:

         N         j         RF             E

        29        17    1.5012943823    0.0012943823
        41        24    1.5004194331    0.0004194331
        53        31    1.4999409031    0.0000590969
        58        34    1.5012943823    0.0012943823
        65        38    1.4996391396    0.0003608604
        70        41    1.5007818502    0.0007818502
        77        45    1.4994314675    0.0005685325
        82        48    1.5004194331    0.0004194331
        87        51    1.5012943823    0.0012943823
        89        52    1.4992798151    0.0007201849
        94        55    1.5001496048    0.0001496048
        99        58    1.5009319677    0.0009319677

On retiendra les gammes à 29, 41 et 53 sons. Cette dernière, en particulier, donne pour la quinte une approximation 30 fois meilleure que la gamme à 12 sons, avec:
231/53 = 1.499940...

Autres rapports de fréquences:

Les anciens pensaient que les accords harmonieux correspondaient à des rapports de fréquences égaux à des fractions simples. On a donc considéré un certain nombre de fractions irréductibles dont le numérateur était au plus égal à 7. On a cherché, dans différentes gammes tempérées, les intervalles susceptibles de les approcher au mieux. Cette étude comprend les gammes à 29, 41 et 53 sons sélectionnées par le test précédent, ainsi que la gamme à 12 sons, pour comparaison. Voici le tableau résumant cette comparaison (les colonnes représentent toujours les paramètres N, j, RF et E, définis plus haut) :


 Rapport 3 / 2 = 1.500000
        12         7    1.498307    0.001693
        29        17    1.501294    0.001294
        41        24    1.500419    0.000419
        53        31    1.499941    0.000059

 Rapport 4 / 3 = 1.333333
        12         5    1.334840    0.001507
        29        12    1.332184    0.001150
        41        17    1.332961    0.000373
        53        22    1.333386    0.000053

 Rapport 5 / 3 = 1.666667
        12         9    1.681793    0.015126
        29        21    1.651913    0.014753
        41        30    1.660603    0.006064
        53        39    1.665377    0.001289

 Rapport 5 / 4 = 1.250000
        12         4    1.259921    0.009921
        29         9    1.240004    0.009996
        41        13    1.245801    0.004199
        53        17    1.248984    0.001016

 Rapport 6 / 5 = 1.200000
        12         3    1.189207    0.010793
        29         8    1.210717    0.010717
        41        11    1.204382    0.004382
        53        14    1.200929    0.000929

 Rapport 7 / 4 = 1.750000
        12        10    1.781797    0.031797
        29        23    1.732798    0.017202
        41        33    1.746998    0.003002
        53        43    1.754817    0.004817

 Rapport 7 / 5 = 1.400000
        12         6    1.414214    0.014214
        29        14    1.397413    0.002587
        41        20    1.402310    0.002310
        53        26    1.404996    0.004996

 Rapport 7 / 6 = 1.166667
        12         3    1.189207    0.022540
        29         6    1.154203    0.012464
        41         9    1.164340    0.002327
        53        12    1.169924    0.003258

Première constatation: dans tous les cas, la gamme à 12 sons donne les pires approximations des rapports de fréquence considérés, à l'exception toutefois du rapport (5/4) pour lequel la gamme à 29 sons produit un écart légérement plus élevé.

Seconde constatation: dans la plupart des cas, la gamme à 53 sons fournit la meilleure approximation. Les trois exceptions concernent les rapports (7/4), (7/5) et (7/6), pour lesquels la gamme à 41 sons donne des résultats sensiblement meilleurs.

Au vu des résultats précédents, nous envisageons d'effectuer des expériences musicales basées sur la gamme tempérée à 53 sons (à suivre !).