25 juin 2014
Bourrées aléatoires. IX. Découpage rythmique des mesures.

Jusqu'ici, nous nous sommes seulement préoccupés de la de la distribution des fréquences des notes (autrement dit, de la mélodie). Pour ce qui est du rythme, nous sous sommes contentés de reproduire les schémas rythmiques de 8 bourrées traditionnelles, dont la liste suit:

En procédant ainsi, on est loin d'épuiser toutes les possibilités rythmiques. Pour une seule mesure, le nombre de possibilités est déjà assez important. Considérons une mesure à 3/4 constituée de notes de durée supérieure ou égale à une croche. Le nombre maximum de notes par mesure est donc égal à 6. Plus généralement, on peut voir que le nombre de possibilités de découpage rythmique, pour une mesure d'une longueur égale à n fois la durée minimale, est:
   F(n) = 2n-1 .
En effet, soit D1 la durée de la première note (relativement à la plus petite durée envisagée). Il y a n possibilités pour D1. Si D1 = 1, le nombre de façons de remplir le reste de la mesure est F(n-1). Si D1 = 2, c'est F(n-2), etc., jusqu'à D1 = n-1 , auquel cas il reste F(1) = 1 possibilité. A cela, il faut ajouter le cas D1 = n, qui constitue à lui seul une possibilité. D'où:
   F(n) = 1 + F(1) + F(2) + ... + F(n-1) .
Pour n = 1 , la mesure ne comprend qu'une seule note, d'où F(1) = 1 .
Pour n = 2 , il y a deux possibilités: 2 notes de durée 1 ou 1 note de durée 2, d'où F(2) = 2 .
La formule précédente donne F(3) = 1 + 1 + 2 = 4 = 22 , puis F(4) = 8 = 23 .
Par récurrence, si F(m) = 2m-1 pour tout m ≤ n , on a:
F(n+1) = 1 + 1 + 2 + 22 + ... + 2n-1.
Or:
1 + x + x2 + ... + xk = ( 1 - xk+1 ) / ( 1 - x ) .
On en déduit:
F(n+1) = 1 + ( 1 - 2n ) / ( 1 - 2 ) = 1 - ( 1 - 2n ) = 2n ,
ce qui démontre la première formule.

Dans le cas présent (n = 6), on a donc 25 = 32 combinaisons possibles, qui sont listées dans la table ci-dessous. Les numéros de chaque combinaison sont indiqués à gauche. Les Dj (j ≤ 6) représentent les durées de chaque note (1=croche, 2=noire, etc.). De plus, pour évaluer l'utilisation pratique de chaque découpage de mesure, on a compté le nombre d'occurrences de chacune de ces combinaisons dans les huit bourrées de référence indiquées au début. Ce nombre figure dans la colonne de droite.

T A B L E    D E S    C O M B I N A I S O N S
numéro D1 D2 D3 D4 D5 D6 occurrences
111111112
211112 2
311121 0
41113 0
511211 2
61122 31
71131 0
8114 1
912111 0
101212 0
111221 0
12123 0
131311 0
14132 0
15141 0
1615 0
1721111 0
182112 2
192121 0
20213 0
212211 0
22222 19
23231 2
2424 15
253111 4
26312 3
27321 0
2833 0
29411 0
3042 19
3151 0
326 16

Pour le moment, on se contentera de quelques remarques sur les occurrences des différentes combinaisons. Plus de la moitié d'entre elles (19) ne sont pas représentées dans l'échantillon considéré. Mais cela tient sans doute à la faible taille de cet échantillon. La combinaison 32 (une blanche pointée) apparaît toujours à la fin des phrases, mais uniquement à cet endroit. On observe aussi un paradoxe: la combinaison 6 (1 1 2 2) est la plus fréquente, avec 31 occurrences, alors que son inverse (2 2 1 1) est absente. La combinaison 6 correspond probablement à un pas de danse typique de la bourrée.

Dans un prochain chapitre, on traitera des applications possibles de cette étude à des fins de composition automatique.