8 mai 2013
Bourrées aléatoires. III. Intervalles entre deux notes successives.

En passant d'une séquence de notes atonale (chapitre I) à une séquence tonale (chapitre II), on s'est rapproché quelque peu des thèmes traditionnels. Pour aller plus loin, on va examiner maintenant les écarts, exprimés en demi-tons, qui séparent deux notes successives. Pour cela, on mesure tous les écarts de notes contenus dans une série de thèmes donnée et on étudie leur distribution statistique. La dispersion des écarts dans chaque distribution peut se caractériser par l'écart-type (ou écart quadratique moyen), obtenu en faisant la moyenne des carrés des écarts et en prenant la racine de cette moyenne.

On applique tout d'abord la méthode à une série d'une centaine de bourrées atonales fabriquée comme indiqué au chapitre I. L'écart-type obtenu est de 10.40 demi-tons. Pour une série analogue mais tonale, obtenue comme indiqué au chapitre II, on obtient 10.75 demi-tons. Le passage de l'atonal au tonal ne change donc pratiquement pas l'écart-type. En fait, en l'absence de contrainte a priori sur la relation entre deux notes successives, seule l'étendue du registre détermine ce paramètre.

Maintenant, appliquons la méthode à une série de bourrées traditionnelles. Les résultats indiqués dans le tableau suivant:

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Titre écart-type
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Caifa te bian 2.67
La Sarrandouna 2.45
Aval dins lo Bas-Pais 2.42
Borreia del Cantal 2.53
La Roda 1.93
La Pradinoise 2.22
Tot lo long del bosc 2.25
Pierre labora 2.34
Borreia d'Egletons 2.76
La planeta 2.44
Borreia de las Monedieras 2.82
La Montanharda 2.22
La Crosada 2.61
Quand las peras son maduras 2.47
La Tricoutade 2.20
B. des moissonneurs 3.01
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Ensemble 2.47

On peut constater que, dans le cas des airs traditionnels, l'écart-type de la distribution des intervalles entre notes est généralement compris entre deux et trois demi-tons. Loin de choisir au hasard les notes dans toute l'étendue du registre disponible, les musiciens traditionnels préféraient donc composer des airs formés de suites de notes rapprochées.

Pour expérimenter l'effet d'une contrainte sur la distribution des écarts, nous allons maintenant créer une série de bourrées de la façon suivante:
Pour chaque morceau, on se donne un écart-type σ. La note finale, de rang n, est fixée comme indiqué dans le capitre II. Puis, de j=n-1 à 1 , on tire au hasard un intervalle Δ_j, conformément à la distribution normale de demi-largeur σ. On en déduit la hauteur de la note de rang j:
h_j = h_{j+1} − Δ_j
A ce stade, on fait un test de conformité pour savoir si la note appartient au registre et à la tonalité fixés au départ (dans le cas contraire, elle est rejetée et on tire un nouvel intervalle). On fabrique de cette façon le thème A, puis le thème B.

Dans le fichier MIDI som8b03.mid , on trouvera une série de 8 bourrées fabriquée selon la méthode décrite plus haut. Les écarts-types de chaque morceau vont en décroissant de 8 à 1 demi-tons. Ainsi, la sixième bourrée ( σ = 3 ) et la septième ( σ = 2 ) ont les distributions d'intervalles les plus proches de celles des airs traditionnels.